Исследовательская работа по математике "Бесконечность не предел" 

Выполнила:

Сергеева Юлия

Научный руководитель:

Белогорохова Алла Александровна,

учитель математики, 

МАОУ Лицей № 2 города Южно-Сахалинска

Оглавление

Введение. 3

Часть 1. 6

Часть 2. 18

Заключение. 22

Список литературы. 23

Приложения. 24

 

 

 

 

Введение

 «Ночью в незнакомых краях бесконечность начинается с первого фонаря». Так говорил русский и американский писатель ХХ вв. Иосиф Бродский в своем произведении «Набережная неисцелимых». Где же началась бесконечность для меня? С того момента, как мне рассказали, о невозможности назвать, написать или найти самое большое число. Ведь сколько не прибавляй к бесконечности, найдется другая бесконечность, больше той, что у нас была. Об этом подробнее я расскажу в своей работе.

Началось всё с чисел, так давайте разберемся, что же такое число? Вопрос вроде не сложный, но это только на первый взгляд (этот вопрос я задала и в своем исследовании). Возьмем для примера число «7». Это не символ «7», ведь в разных культурах используются разные знаки, для обозначения этого числа. Так же это не слово «семь», которое по-английски было бы «seven», по-французски «sept», по-немецки «seiben».

Число – это не что-то, что можно показать кому-то в реальном физическом мире. Это абстракция, ментальная человеческая концепция, извлеченная из реальности, но не реальная сама по себе.

И вот бесконечность… Понятие, мало того, что еще более абстрактное, да еще и крайне парадоксальное. С философской точки зрения бесконечность отличается от традиционных чисел и не принадлежит ни к одной из стандартных числовых систем, начиная от множества натуральных чисел и заканчивая множеством комплексных. Тем не менее, она долго болталась где-то с краю, похожая на число, но не число, как таковое. И болталась до тех пор, пока Георг Кантор не вернулся к точке старта – к счету – и не показал, во-первых, что бесконечность – всё же число, в смысле возможности счета, и во-вторых, что существуют бесконечности разных размеров. Среди них можно назвать «алеф нулевое» - количество натуральных чисел и «c» - количество действительных чисел, которое больше. Насколько больше, дело тёмное – это зависит от того, какую систему аксиом использовать для формализации математики. Попробуем в этом разобраться. Могут ли бесконечности быть больше друг друга или равны? Какова эта разница? Но это не все вопросы, что возникли у меня, при изучении этой темы.

Вот, например, в школьной математике есть такое понятие, как «сумма бесконечной геометрической прогрессии». Рассмотрим следующий бесконечный ряд чисел: 1, a, a², a³ и т.д. Тогда сумма этой прогрессии будет равна по формуле S= 1+a+a²+a³+…+aⁿ= 1/1-a. Возникает вопрос, почему бесконечный ряд даёт красивый конечный ответ? Зачем может понабиться сложение бесконечного ряда чисел?

Изучив литературу по этой теме, я поняла, что математики никогда не прекращают заниматься чем-либо только потому что это невозможно. Чувствуя себя одной из них, я задалась следующими вопросами… Что же такое бесконечность? Можно ли говорить о бесконечности, как о реально существующем в нашем физическом мире понятии или это лишь какая-то математическая абстракция? Можно ли посчитать, сравнить бесконечности? Эта тема показалась мне очень интересной и увлекательной, открывающей математику для меня совершенно, с другой стороны. Как науку интересную, всеобъемлющую и интригующую. И я решила узнать, а сколько людей думают так как я? И попыталась привлечь людей самых разных профессий и возрастов к изучению математики, развить их математическую смекалку и заставить их выйти за привычные рамки мышления.

Цель исследования: выяснение актуальности понятия бесконечности и необходимости ее в математике, а также с помощью данного исследования возможности заинтересовать людей, не связанных с точными науками, изучением математики и ее понятий, популяризация математики.    

Гипотеза: бесконечность – это не абстрактное понятие, а объективно существующая математическая величина, которая иногда может быть конечна, и существуют бесконечности разных размеров, которые можно сравнить. Математика может быть интересна не только людям, занимающимся ей на работе или изучающим ее в курсе школьной программы, но и всем, кто ищет развития и не останавливается на достигнутом.

Предмет исследования: способы повышения заинтересованности людей разных возрастов и профессий изучением математики и ее понятий.

Объект исследования: понятие бесконечности в математике.

Актуальность моего исследования состоит в том, что в последнее время люди все меньше времени уделяют своему саморазвитию, не стремятся узнать что-то новое, а я своей работой рассчитываю заинтересовать людей изучением математики и ее понятий, проверить какой процент опрашиваемых заинтересуется математикой, после интерпретации ее мною таким образом.

Методы исследования: теоретический анализ, анкетирование, математический и статистический метод исследования. В качестве основы исследования взяты материалы научной, научно-популярной литературы.

 

 

 

Часть 1.

Начать хочется с объяснения этого загадочного понятия, которое вроде у нас на слуху всегда и везде, но понимаем ли мы что это такое – бесконечность? В этой части работы я приоткрою завесу с этого понятия и расскажу про его судьбу в математике, предложу разные теории о бесконечности.

Сотни лет математики с большой осторожностью относились к бесконечности. Когда числа сами по себе только появились, ученым сложно было представить, что есть что-то такое более абстрактное, чем число. Но бесконечность нужна была математике. И тогда вопросом «каково же самое большое число?» стали интересоваться множество математиков. Еще в 4 веке до н. э. Аристотель сказал: «Всегда возможно придумать большее число, потому что количество частей, на которые можно разделить отрезок, не имеет предела. Поэтому бесконечность потенциальна, никогда не действительна; какое бы число делений ни задали, всегда потенциально можно разделить на большее число». Позже Аристотель сделал большой вклад в осознание бесконечности, разделив ее на потенциальную и актуальную. Обратимся к этим понятиям.

Нечто потенциально бесконечно, если может, в принципе быть продолжено до бесконечности – как добавление все новых членов ряда. Например, π²/6= 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 +1/25 +1/36 … где сумма чисел, обратных квадратам, выражена через π. Это утверждение верно, только если последовательность продолжается до бесконечности. Если остановиться, то сумма последовательности даст некое рациональное число, которое – после умножения на шесть и извлечения корня – даст приближенное значение π. Однако так не удастся получить точное значение π, потому что π – число иррациональное. И в любом случае, где бы мы ни остановились, добавление следующего члена увеличит точность. Бесконечность потенциальна, если каждая отдельная сумма конечна, но процесс генерации этих сумм не имеет фиксированного конца.

Актуальная же бесконечность возникает, когда весь бесконечный процесс или вся бесконечная система рассматриваются, как единый объект.  Математики нашли разумный способ интерпретировать потенциальную бесконечность бесконечных рядов. Они использовали несколько различных потенциально бесконечных процессов, но во всех интерпретировали символ бесконечности, как «продолжать до тех пор, пока не подойдешь к верному ответу настолько близко, насколько это необходимо». Актуальная бесконечность –совершенно иное дело, она означает величину, не имеющую конечной меры.

Следующим ученым, что оставил свой след в истории развития бесконечности, как полноценного понятия в математике, был Евклид. В своем главном труде «Начала» он сказал: «Простые числа превосходят любую определенную величину». Иными словами, наибольшего простого числа не существует. При доказательстве Евклид исходил от обратного и рассуждал так. Предположим, что количество простых чисел конечно. Тогда можно составить их полный перечень. Рассмотрим число, которое на единицу больше произведения всех этих чисел, то есть 2 х 3 х 5 х 7 х 11 х… х (последнее число из полного перечня простых чисел) + 1. На какое бы из простых чисел мы ни разделили это число, в остатке всегда будет 1. Таким образом, это число также является простым, причем не вошедшим в перечень. Но ведь данный перечень предполагался полным, а, следовательно, налицо противоречие. Значит, предположение о конечности количества простых чисел неправомерно – количество простых чисел бесконечно.

Позже Галилео Галилей в 1638 году написал книгу «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки» (механика и местное движение), в которой все идеи изложены автором в форме шестидневного диалога. И в один из дней разговор заходит на тему чисел и бесконечности.

«-Как произведения чисел называются квадратами, так и образующие их, т.е. перемножаемые числа носят названия сторон или корней, количество всех чисел вместе – квадратов и не квадратов – больше, чем одних только квадратов.

- корней столько, сколько всех чисел вообще, потому что нет ни одного числа, которое не могло бы быть корнем какого-либо квадрата.

- установив это, приходится сказать, что квадратов столько же, сколько и всех чисел, так как столько же корней, а корнями являются все числа.»

Так Галилей дал определение бесконечности, расширил это понятие, а также сделал задел на будущее, ведь стал тем, кто первый косвенно затронул понятие счётности и не счётности бесконечности.

А дальше были Фреге, Рассел и Уайтхед. Началось у них все с чисел, как и у всех.

Что такое бесконечное число? Я уже задавалась этим вопросом для простых и натуральных чисел. В исследованиях этого понятия я добралась до идеи Фреге, что это класс всех классов, соответствующий данному классу. Здесь может быть ловушка. Давайте ее поищем.

Фреге начал с процесса счета и сосредоточился не на числах, которые мы используем, а на предметах, которые считаем. Если я поставлю на стол семь чашек и посчитаю их «1, 2, 3, 4, 5, 6, 7» самым важным объектом здесь на первый взгляд будут числа. Фреге же не согласился с этим, он думал о чашках. Система счета работает до тех пор, пока у нас есть набор чашек, которые мы, собственно говоря, и хотим сосчитать. С другим набором, строго говоря, может получиться другое число. Фреге назвал наборы объектов, которые мы считаем классами. Сосчитав, сколько чашек содержит данный конкретный класс, мы устанавливаем соответствие между этим классом и числовыми символами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

 

      1           2             3             4             5              6             7

Точно так же можно установить соответствие между объектами и числами, если рассмотреть класс блюдец.

 

        1                 2                 3                 4                 5                 6                  7

В данном случае можно сделать вывод, что класс блюдец содержит столько же (то же число) блюдец, что и класс чашек – чашек. Мы даже знаем сколько конкретно: семь.

Все это может показаться очевидным до банальности, но Фреге понял, что эти утверждения сообщают нам нечто глубокое. А именно, что мы можем доказать, что класс блюдец содержит столько же блюдец, сколько класс чашек содержит чашек, без использования 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и даже не зная, сколько именно в них содержится чашей и блюдец. Для этого достаточно установить соответствие между этими классами. Таков был его вклад в определения счетной и не счетной бесконечности.

Формально такой вид соответствия называется взаимно-однозначным: каждой чашке соответствует в точности одно блюдце, а каждому блюдцу –  в точности одна чашка. Счет не работает, если вы пропускаете чашки или считаете одну и ту же чашку несколько раз. Мы будем называть это соответствие или эквивалентность, не забывая при этом о формальном условии.

Фреге пришел к выводу, что в основе того, что мы понимаем под «числом», лежит установление отношений между классами при помощи соответствия. Но Фреге не считал, что концепция числа должна различаться в разных культурах, поэтому он предложил способ вообще уйти от произвольных символов. Точнее он изобрел универсальный суперсимвол, одинаковый во всех культурах, но это не тот символ, который можно записать на бумаге: это был концептуальный символ. Он начал с того, что указал, что члены любого класса сами тоже могут являться классами. Это не обязательно, но и не исключено. Обычный бытовой пример – коробка консервных банок с фасолью. В коробке содержатся банки, в банках – фасоль. Так что классы вполне можно включать в другие классы в качество членов.

Таким образом, он смог определить число вообще: это класс всех классов, которые находятся в соответствии с данным классом, а, следовательно, и друг с другом. По существу, вместо того, чтобы выбрать для числа название, мы потенциально объединяем все возможные названия в единый объект и используем этот объект вместо названия.

В начале рассказа о понимании Фреге числа, я сказала, что в его определении есть ловушка, а она здесь действительно есть.

Это определение очень элегантно – если привыкнуть к такому стилю мышления. К тому же у него есть существенное достоинство – оно определяет уникальный объект. Однако, не успели на шедевре Фреге высохнуть чернила, как Рассел выдвинул возражение. Не против основной идеи, а против того типа класса, которым пришлось воспользоваться Фреге. Класс всех классов, соответствующих нашему классу чайных чашек громаден. Возьмите вы три любых объекта, объединенных в класс, и результат обязательно окажется элементом вездесущего класса классов Фреге. К примеру, класс, элементами которого являются Эйфелева башня, конкретный вид маргариток в полях Кембридшира и афоризм Оскарда Уайлда, придется в него включить.

Парадокс Рассела.

Имеют ли такие всеобъемлющие классы хоть какой-нибудь смысл? Рассел понял, что, вообще говоря, смысла в них нет. Его пример представлял собой один из вариантов знаменитого парадокса брадобрея.

В одной деревне жил брадобрей, который брил тех и только тех, кто не брился сам. Кто же тогда брил брадобрея? При условии, что все в деревне бреются тем или иным способ, такого брадобрея просто не может быть. Если он не бреет себя сам, то по определению он должен брить себя… Если же он бреет себя сам, то нарушается условие о том, что он бреет только тех, кто не бреется сам.

Рассел нашел класс, очень похожий на тот, что хотел использовать Фреге, который ведет себя в точности как брадобрей: класс всех классов, которые не содержат себя. Содержит этот класс сам себя? Оба варианта можно исключить. Если этот класс содержит себя, то для него выполняется то же условие, что и для прочих входящих в него классов – он не содержит себя. Но есть он не содержит себя, то он удовлетворяет условию вхождения и, следовательно, содержит себя.

Хотя парадокс Рассела не доказывает, что определение числа по Фреге логически противоречиво, он все же означает, что невозможно просто, безо всяких доказательств, считать, что любое условие типа да/нет определяет класс, то есть те объекты, для которых условие выполняется. И это сразу выбило фундамент из-под ног Фреге. Позже Рассел и его коллега Альфред Норт Уайтхед попытались заделать возникшую прореху, разработав хитроумную теорию о классах, которые могут быть определены разумным образом в определенной систематической среде. Результатами их работы стал трехтомный труд «математические начала» - сознательная дань Ньютону – в котором математика выводилась из логических свойств классов. Но об этом как-нибудь в другой работе.

Теперь уже мало кто из математиков пользуется подходом к классам предложенным Расселом и Уайтхедом, поскольку более простые подходы работают лучше. Ключевой фигурой в формулировке сегодняшних логических оснований математики стал Кантор. Начинал он, как и Фреге с попытки разобраться в логической базе натуральных чисел. Но исследования увели его в направлении присвоения числовых значений бесконечным множеством. Эти числовые значения стали называть трансфинитными кардинальными числами (это обычные числа). Их замечательнейшая черта – то, что таких чисел больше одного.

Кантор работал также с наборами объектов, которые он называл множествами, а не классами, потому что на объекты в них накладывалось больше ограничений, что значит хоть какие-то ограничения, ведь у Фреге объекты могли быть любыми. Подобно Фреге, он начал с интуитивной идеи о том, что два множества имеют одинаковое число членов тогда и только тогда, когда между этими множествами можно установить соответствие. В отличие от Фреге он делал это в том числе и для бесконечных множеств. Более того, в начале он, возможно, полагал, что так можно определить бесконечность. Очевидно же, что любое бесконечное число множество можно поставить в соответствие любому другому множеству? Если так, то должно существовать ровно одно бесконечное число, и оно должно быть больше любого конечного числа – на том и конец делу.

Оказалось, что это лишь начало

1       2       3       4       5       6       7       …

 

1       2       3       4       5       6       7       …

Базовое бесконечное множество – это множество всех натуральных чисел. Поскольку эти числа используются для счета, Кантор определил любое множество как счетное, если его элементы можно поставить в соответствие множеству натуральных чисел. Внимание: рассматривая это множество целиком, Кантор говорит об актуальной, а не потенциальной бесконечности.

Множество всех натуральных чисел, очевидно, счетное – достаточно каждое число в нем поставить в соответствие самому себе.

Существуют ли другие такие бесконечные множества? Да, и притом странные. Как на счет такого?

1       2       3       4       5       6       7       …

 

2       3       4       5       6       7       8       …

Удалите число 1 из множества натуральных чисел, и общее число его элементов не уменьшится на 1, оно останется в точности таким же, как и было, то есть бесконечным…

Согласна, если остановиться на каком-то конечном числе, то на правом конце у нас останется лишнее число, однако если использовать все натуральные числа, то правого конца не будет существовать. Любое число n, будет соответствовать числу n+1, и это соответствие связывает множество всех натуральных чисел и то же множество без числа. Часть здесь по размеру равна целому…

Кантор назвал свои бесконечные числа кардинальными, мы, чтобы выделить, называем эти числа трансфинитными, или просто бесконечными. Для обозначения кардинальных чисел, в отличие от натуральных, Кантор, выбрал необычный символ – первую букву ℵ₀(алеф) еврейского алфавита, поскольку и сама идея была необычной.

Кантор считал, что его ряд бесконечных чисел должен начинаться примерно так:

ℵ₀, ℵ₁, ℵ₂, ℵ_3…

 Где каждые последующее число является «следующим» в полной мере в том, что смысле, что между этими двумя числами ничего нет. Натуральные числа соответствуют ℵ₀. Рациональные, допустим, тоже. Но действительные числа не обязательно рациональны. Диагональный аргумент Кантора доказывает, что С больше ℵ₀, так что можно предположить, что действительные числа соответствуют ℵ₁. Но рассмотренное доказательство говорит о том, что С больше, но не исключает, что между этими двумя числами лежит еще что-то. С позиции Кантора это могло бы быть ℵ₃ или ℵ₄. Вернемся к диагональному аргументу Кантора и рассмотрим это доказательство:

Кантор понял, что бесконечность действительных чисел определенно больше, чем бесконечность счетных, или натуральных чисел, то есть ℵ₀.

Идея, которая за этим стоит, обманчиво проста и использует доказательство от противного. Предположим, в надежде получить логическое противоречие, что действительные числа можно поставить в соответствие числам натуральным. Тогда существует список бесконечных десятичных дробей вида:

1. a₀, a₁ a_2, a₃, a₄, a₅…
2. b₀, b₁, b₂, b₃, b₄, b₅…
3. c₀, c₁, c₂, c₃, c₄, c₅…
4. d₀, d₁, d₂, d₃, d₄, d₅…
5. e₀, e₁, e₂, e₃, e₄, e₅…

такой, что любая возможная бесконечная десятичная дробь когда-нибудь встретиться в нем справа от стрелки. Блестящая6 идея Кантора состоит в том, чтобы построить такую бесконечную десятичную дробь, которая никак не могла бы там появиться. Для этого подойдет число вида:

0, х₁ х₂ х₃ х₄ х₅ …

Где

х₁ не совпадает с a₁

х₂ не совпадает с b₂

х₃ не совпадает с c₃

х₄ не совпадает с d₄

х₅ не совпадает e₅

и так далее. Главным здесь является то, что, если взять любую бесконечную десятичную дробь и изменить в ней одну любую цифру сколь угодно далеко от запятой, ее величина изменится. Проделав такой трюк с каждым числом нашего вроде бы полного списка, мы получаем новое «неучтенное число».

Условие, касающееся х₁, означает что это новое число – не первое в списке, поскольку на первом месте после запятой у него стоит не та цифра. Условие про х₂ означает, что наше число – не второе в списке, поскольку на втором месте после запятой у него стоит не та цифра. И так далее. Так, как и дроби, и список продолжаются до бесконечности, можно сделать вывод, что нашего нового числа в списке нет. Но первоначально мы предположили, что оно там есть. Это противоречие; следовательно, наше предположение неверно, и полного списка не существует. Это доказательство работает именно потому, что и сами цифры, и список можно соотнести со счетными числами.

Поскольку любое натуральное число еще и действительное, из этого следует, что в системе Кантора бесконечность, связанная с числом всех натуральных чисел меньше, чем бесконечность, связанная с числом всех действительных чисел.

Кантор не смог доказать того, что действительные числа соответствуют именно ℵ₁. Не сумевши доказать свое предположение, он выбрал для них другое обозначение: готическое С, сокращенное continuum – название, использовавшееся в то время для обозначения множества действительных чисел.

Конечно множество, содержащее n элементов, имеет 2ⁿ разных подмножеств. Поэтому Кантор определил 2^А для любого кардинального А. И заявил, что 2^А – это мощность множества всех подмножеств данного множества. Затем он сумел доказать, что С равно 2 в степени ℵ₀. Казалось вероятным также, что ℵ_n+1=2^ℵ0. Иными словами, если взять множество всех подмножеств, то получится следующее бесконечное кардинальное число. Но доказать это кантор не смог.

Он не смог доказать даже простейшего случая, когда n=0, что эквивалентно утверждению о том, что С=ℵ₁. В 1878 г. Кантор предложил, что это равенство верно, и оно приобрело известность, как гипотеза континуума. В 1940 г. Гёдель доказал, что ответ «да» логически согласуется с обычными аксиомами теории множеств, что внушало оптимизм. Но затем в 1963 году Коэн доказал, что ответ «нет» тоже логически согласуется с ними.

Упс!

В математике это не считается логическим противоречием, смысл этого намного не стандартнее и в некотором отношении тревожнее: ответ зависит от того, какой вариант теории множеств вы используете. Все эти варианты приводят к одинаковым результатам в случае элементарной математики, но для более продвинутых разделов математики различия между этими вариантами имеют значение.

Поэтому с бесконечностью стоит вести себя крайне осторожно. Если отбросить осторожность, то конечно же, ∞ - наибольшее возможное число… Ну, по определению оно больше любого натурального числа, но стоит нам попытаться применить наше новое число в арифметических действиях, как все станет куда менее очевидным. Первый естественный вопрос: чему равно ∞ + 1? Если результат больше, чем ∞, то ∞ уже не может быть наибольшим возможным числом. Но если результат этого действия – по-прежнему ∞, то ∞ = ∞ + 1. Если мы вычтем ∞, то получаем 0 = 1. И как на счет ∞ + ∞? Если это больше  ∞, то возникают уже упоминавшийся трудности. Если нет, то ∞ + ∞ = ∞. Вычитаем бесконечность, получаем ∞ = 0.

Опыт обращения с предыдущими расширениями числовой системы показывает, что при введении новых типов чисел нам неизменно приходится жертвовать какими-то правилами арифметики или алгебры. В данном случае, нам, похоже, придется запретить вычитания, если речь идет о ∞. По аналогичным причинам мы не можем также ожидать, что деление на ∞ работает так же, как в обычном случае. Но согласитесь, хилое получается число, если его нельзя использовать ни для вычитания, ни для деления.

Пого, мультяшный персонаж Уолта Келли, говаривал: «Мы встретили врага, и этот враг - мы сами». Наше настойчивое стремление к аксиоматической логике оборачивается против нас. Поэтому в этой области математики есть еще очень много предложений, в конце которых стоит поставить большую, жирную точку.

 

 

Часть 2.

 

Изучив теорию и узнав много интересного об этом понятии, я задалась вопросом, а на сколько другие люди, может даже не связанные с математикой, могут заинтересоваться этим понятием, или заинтересоваться математикой, узнав, об этом понятии? Насколько это может быть интересно и ново, для людей разных возрастов, профессий и профилей? И тогда я решила провести социологический опрос, который является одним из самых распространенных способов сбора информации в современной социологии и маркетинге.

Я проводила анкетирование среди 130 участников, 56% от которых ученики нашей школы, 24% работники типографии или банка и 20% студенты СахГУ.

Им было предложено ответить всего на 9 вопросов (приложение 1). Но анкета была разделена на две части. И у нее имелось приложение в виде статьи (приложение 2), которая служит результатом переработки, адаптации на более понятный язык и сокращения теоретического материала, что я представила вам в первой части своей работы. Часть вопросов была задана до прочтения статьи, а часть после.

До прочтения статьи я решила узнать, насколько интересна математика опрашиваемым мною людям. По результатам опроса больше половины опрашиваемых были не заинтересованы математикой.

А также спросила «как вы считаете, может ли математика заинтересовать вас, если ваш род деятельности на прямую не связан с ней?». И 79% дали ответ «нет».

После прочтения статьи были заданы вопросы о доступности языка, на котором написана статья. Для 78% она оказалась понятной и доступной.

Если рассмотреть отдельно людей разных возрастов, то можно заметить, что среди школьников процент заинтересовавшихся больше, чем студентов.

 А из взрослых 74% считают, что с помощью таких статей можно заинтересовать людей разных возрастов и профессий математикой и 75% из них хотели бы прочитать еще статьи подобные этой.

Итак, целью моего анкетирования было узнать отношение количества не интересующихся математикой людей к количеству тех, кто заинтересовался ей после прочтения статьи. Из всех опрошенных 84,5% были не заинтересованы математикой, а 86,5%  считали что она не может их заинтересовать, среди них 92% на вопросы «заинтересовала ли их статья» и «возможно ли с помощью такой интерпретации математических понятий заинтересовать людей изучением этой науки» ответили да.

 

 

Заключение.

 

Таким образом, проведя исследование, я узнала, что бесконечность – это абстрактное понятие, которое не существует в реальном мире, но имеет свою концепцию и свойства, может находить свое воплощение в конечном и быть разных размеров. Использовав теоретический анализ, анкетирование, математический и статистический методы исследования я выяснила, что, во-первых, понятие бесконечности в математике играет большую роль и, во-вторых, что с помощью интерпретации математических понятий, в моем случае понятия бесконечности, в краткие, информативные и доступные статьи можно заинтересовать людей разных возрастов, профессий и профилей. Расширить их кругозор, предоставить возможность узнать что-то новое.

 

 

Список литературы.

• Бертран Рассел, Альфред Норт Уайтхед «Principia Mathematica»,1910 г. издательство «Cambridge University Press»
• И. М. Виноградов «Математическая энциклопедия», 1979 г. издательство «советская энциклопедия»
• Галилео Галилей, «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки, относящихся к механике и местному движению», 1638 г.
• Евклид «Начала», 300 г. до н. э.
• Кондрашов А. П. «Новейшая книга фактов. Том 3», 2008 г.
• С. М. Никольский учебник «Математика: алгебра и начал математического анализа, геометрия, 2016 издательство «Просвещение»
• Иэн Стюарт «Невероятные числа профессора Стюарта»,2017 г. издательство «Альпина нон-фикшн»
• Клиффорд Пиковер «Великая математика», 2014 г. издательство «Бином. Лаборатория знаний»
• Е. В. Потоскуев, Л. И. Звавич учебник «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия», 2015 г. издательство «Дрофа»
• Проненко А. С. Статья «Что такое бесконечность?», 2016 г.
• Т. Редже «Этюды о вселенной», 1985 г. издательство «Мир»
• Руднева Н. В. Статья «Математические знаки и символы»

 

 

Приложения.

Приложение 1.

1. Сколько вам лет?
   1.  
2. Насколько вам нравится математика?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

3. Как вы считаете, может ли математика заинтересовать вас, если ваш род деятельности на прямую не связан с ней?

Да Нет

4. Считаете ли вы математику интересной наукой?

Да Нет

5. Заинтересовала ли вас статья?

Да Нет

6. Стала ли для вас математика, после прочтения данной статьи, наукой более интересной?

Да Нет

7. Насколько доступным языком написана статья?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

8. Как вы думаете, возможно ли с помощью такой интерпретации математических понятий заинтересовать людей изучением этой науки?

Да Нет

9. Хотели бы вы прочитать еще статьи об интересных областях математики, подобные этой?

Да Нет

 

 

Приложение 2.

Статья. Что-то про бесконечности…

«Ночью в незнакомых краях бесконечность начинается с первого фонаря» - русский и американский писатель ХХ вв. Иосиф Бродский «Набережная неисцелимых».

Здравствуйте, меня зовут Сергеева Юлия, и я пишу исследовательскую работу по математике, целью которой является с помощью теоретического анализа, анкетирования, математического и статистического методов исследования выяснить актуальность понятия бесконечности и необходимость ее в математике, а также с помощью данной работы заинтересовать людей, не связанных с точными науками изучением математики и ее понятий.

А теперь к бесконечности.

Начать хочется с объяснения этого загадочного понятия, которое вроде у нас на слуху всегда и везде, но понимаем ли мы что это такое – бесконечность? В этой статье я постараюсь приподнять завесу с этого понятия и рассказать его судьбу в математике и предложу разные теории о бесконечности, предложенные великими учеными в разное время. Что такое бесконечное число? В исследованиях этого понятия я добралась до идеи Фреге, что это класс всех классов, соответствующий данному классу. Фреге начал с процесса счета и сосредоточился не на числах, которые мы используем, а на предметах, которые считаем. Если я поставлю на стол семь чашек и посчитаю их «1, 2, 3, 4, 5, 6, 7» самым важным объектом здесь на первый взгляд будут числа. Фреге же не согласился с этим, он думал о чашках. Система счета работает до тех пор, пока у нас есть набор чашек, которые мы, собственно говоря, и хоти сосчитать. С другими набором, строго говоря, может получиться другое число. Фреге назвал наборы объектов, которые мы считаем классами. Сосчитав, сколько чашек содержит данный конкретный класс, мы устанавливаем соответствие между этим классом и числовыми символами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

 

     1            2            3              4              5             6             7

Точно так же можно установить соответствие между объектами и числами, если рассмотреть класс блюдец.

 

        1                 2                 3                 4                 5                 6                  7

В данном случае можно сделать вывод, что класс блюдец содержит столько же (то же число) блюдец, что и класс чашек – чашек. Мы даже знаем сколько конкретно: семь.

Все это может показаться очевидным до банальности, но Фреге понял, что эти утверждения сообщают нам нечто глубокое. А именно, что мы можем доказать, что класс блюдец содержит столько же блюдец, сколько класс чашек содержит чашек, без использования 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и даже не зная, сколько именно в них содержится чашей и блюдец. Фреге пришел к выводу, что в основе того, что мы понимаем под «числом», лежит установление отношений между классами при помощи соответствия.

Ключевой фигурой в формулировке сегодняшних логических оснований математики стал Кантор. Начинал он, как и Фреге с попытки разобраться в логической базе натуральных чисел. Кантор работал с наборами объектов, которые он называл множествами. Начал он с интуитивной идеи о том, что два множества имеют одинаковое число членов тогда и только тогда, когда между этими множествами можно установить соответствие. Очевидно же, что любое бесконечное число множество можно поставить в соответствие любому другому множеству? Если так, то должно существовать ровно одно бесконечное число, и оно должно быть больше любого конечного числа – на том и конец делу.

Оказалось, что это лишь начало

1       2       3       4       5       6       7       …

 

1       2       3       4       5       6       7       …

Базовое бесконечное множество – это множество всех натуральных чисел. Поскольку эти числа используются для счета, Кантор определил любое множество как счетное, если его элементы можно поставить в соответствие множеству натуральных чисел. Множество всех натуральных чисел, очевидно, счетное – достаточно каждое число в нем поставить в соответствие самому себе.

Существуют ли другие такие бесконечные множества? Как на счет такого?

1       2       3       4       5       6       7       …

 

2       3       4       5       6       7       8       …

Удалите число 1 из множества натуральных чисел, и общее число его элементов не уменьшится на 1, оно останется в точности таким же, как и было, то есть бесконечным…

Согласна, если остановиться на каком-то конечном числе, то на правом конце у нас останется лишнее число, однако если использовать все натуральные числа, то правого конца не будет существовать. Любое число n, будет соответствовать числу n+1, и это соответствие связывает множество всех натуральных чисел и то же множество без числа. Часть здесь по размеру равна целому…

Поэтому с бесконечностью стоит вести себя крайне осторожно. Но если отбросить осторожность, то конечно же, ∞ - наибольшее возможное число… Первый естественный вопрос: чему равно ∞ + 1? Если результат больше, чем ∞, то ∞ уже не может быть наибольшим возможным числом. Но если результат этого действия – по-прежнему ∞, то ∞ = ∞ + 1. Если мы вычтем ∞, то получаем 0 = 1. И как на счет ∞ + ∞? Если это больше ∞, то возникают уже упоминавшийся трудности. Если нет, то ∞ + ∞ = ∞. Вычитаем бесконечность, получаем ∞ = 0. Немного странно, да? Согласна, эта область математики – замечательные охотничьи угодья для специалистов по математической логике. Но от этого она не становиться менее интересной.

Пусть сегодня бесконечность для вас начнется с моей статьи. Может не так поэтично, как у Бродского, но интересно и познавательно. Вот такой увлекательной, доступной и парадоксальной бывает математика. Есть еще великое множество понятий математики, которые не менее любопытны. И я надеюсь, что моя статья поможет вам заинтересоваться этой наукой и познакомит вас с чем-то новым.